迪杰斯特拉算法介绍：

迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是典型最短路径算法，用于计算一个节点到其他节点的最短路径。 

它的主要特点是以起始点为中心向外层层扩展(广度优先搜索思想)，直到扩展到终点为止。

基本思想：

通过Dijkstra计算图G中的最短路径时，需要指定起点s(即从顶点s开始计算)。

此外，引进两个集合S和U。S的作用是记录已求出最短路径的顶点(以及相应的最短路径长度)，而U则是记录还未求出最短路径的顶点(以及该顶点到起点s的距离)。

初始时，S中只有起点s；U中是除s之外的顶点，并且U中顶点的路径是"起点s到该顶点的路径"。然后，从U中找出路径最短的顶点，并将其加入到S中；

接着，更新U中的顶点和顶点对应的路径。 然后，再从U中找出路径最短的顶点，并将其加入到S中；接着，更新U中的顶点和顶点对应的路径。 ... 重复该操作，

直到遍历完所有顶点。

操作步骤：

(1) 初始时，S只包含起点s；U包含除s外的其他顶点，且U中顶点的距离为"起点s到该顶点的距离"[例如，U中顶点v的距离为(s,v)的长度，然后s和v不相邻，则v的距离为∞]。

(2) 从U中选出"距离最短的顶点k"，并将顶点k加入到S中；同时，从U中移除顶点k。

(3) 更新U中各个顶点到起点s的距离。之所以更新U中顶点的距离，是由于上一步中确定了k是求出最短路径的顶点，从而可以利用k来更新其它顶点的距离；例如，(s,v)的距离可能大于(s,k)+(k,v)的距离。

(4) 重复步骤(2)和(3)，直到遍历完所有顶点。

单纯的看上面的理论可能比较难以理解，下面通过实例来对该算法进行说明。

迪杰斯特拉算法图解

 

以上图G4为例，来对迪杰斯特拉进行算法演示(以第4个顶点D为起点)。

初始状态：S是已计算出最短路径的顶点集合，U是未计算除最短路径的顶点的集合！

第1步：将顶点D加入到S中。 

此时，S={D(0)}, U={A(∞),B(∞),C(3),E(4),F(∞),G(∞)}。 注:C(3)表示C到起点D的距离是3。

第2步：将顶点C加入到S中。 

上一步操作之后，U中顶点C到起点D的距离最短；因此，将C加入到S中，同时更新U中顶点的距离。以顶点F为例，之前F到D的距离为∞；但是将C加入到S之后，F到D的距离为9=(F,C)+(C,D)。 

此时，S={D(0),C(3)}, U={A(∞),B(23),E(4),F(9),G(∞)}。

第3步：将顶点E加入到S中。 

上一步操作之后，U中顶点E到起点D的距离最短；因此，将E加入到S中，同时更新U中顶点的距离。还是以顶点F为例，之前F到D的距离为9；但是将E加入到S之后，F到D的距离为6=(F,E)+(E,D)。 

此时，S={D(0),C(3),E(4)}, U={A(∞),B(23),F(6),G(12)}。

第4步：将顶点F加入到S中。 

此时，S={D(0),C(3),E(4),F(6)}, U={A(22),B(13),G(12)}。

第5步：将顶点G加入到S中。 

此时，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12)}, U={A(22),B(13)}。

第6步：将顶点B加入到S中。 

此时，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13)}, U={A(22)}。

第7步：将顶点A加入到S中。 

此时，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13),A(22)}。

此时，起点D到各个顶点的最短距离就计算出来了：A(22) B(13) C(3) D(0) E(4) F(6) G(12)。

代码如下:

 

1 #include "stdafx.h" 2 #include
     
       3 #include
      
        4 #define MAX_VERTEX_NUM 100 5 #define INFINITY 65535 6 typedef int Pathmatirx[MAX_VERTEX_NUM];//存放最短路径下标的数组 7 typedef int ShortPathTable[MAX_VERTEX_NUM];//存放到各顶点最短路径的权值之和 8 using namespace std; 9 typedef struct Graph            //有向图的邻接矩阵10 {11     char vexs[MAX_VERTEX_NUM];  //存放顶点的数组12     int arcs[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];//定义一个临界矩阵13     int vexnum, arcnum;         //总顶点数、总边数14 }Graph;15 16 int LocateVex(Graph G, char ch) //搜索17 {18     for (int i = 0; i < G.vexnum; i++)19         if (G.vexs[i] == ch)20             return i;21     return -1;22 }23 24 void CreateGraph(Graph &G)      //创建无向图25 {26     char c1, c2;                //弧尾、弧头27     int i, j, weight;           //weight为权重28     cout << "请输入总顶点数、总边数(空格隔开):";29     cin >> G.vexnum >> G.arcnum;30     cout << "请输入顶点信息(空格隔开):" << endl;31     for (i = 0; i < G.vexnum; i++)  32     {33         cin >> G.vexs[i];34     }35     for (i = 0; i < G.vexnum; i++) 36         for (j = 0; j < G.vexnum; j++)37             G.arcs[i][j] = INFINITY;38     cout << "请输入弧尾、弧头以及权值:" << endl;39     for (int k = 0; k < G.arcnum; k++)40     {41                  cin >> c1 >> c2 >> weight;42                  i = LocateVex(G, c1);43                  j = LocateVex(G, c2);44                  G.arcs[i][j] = weight;45      }46 }47 48 void ShortestPath_Dijkstra(Graph G, int v0, int prev[], int dist[])//迪杰斯特拉算法49 {    //求有向图G的v0顶点到其余顶点v最短路径prev[v]及带权长度dist[v]，prev[v]的值为前驱顶点下标，dist[v]表示v0到v的最短路径长度之和。50     int v , w, k, min;51     int final[MAX_VERTEX_NUM];  //final[w]=1表示求得顶点v0至v(w)的最短路径52     for (v = 0; v < G.vexnum; v++)//初始化数据53     {54         final[v] = 0;           //全部顶点初始化为未知最短路径状态55         dist[v] = G.arcs[v0][v];//将与v0点有连线的顶点加上权值56         prev[v] = 0;            //初始化路径数组prev为057     }58     dist[v0] = 0;               //v0至v0的路径为059     final[v0] = 1;              //v0至v0不需要求路径60     for (v = 1; v < G.vexnum; v++)//开始主循环，每次求得v0到某个v顶点的最短路径61     {62         min = INFINITY;        //当前所知离v0顶点最近的距离63         for (w = 0; w < G.vexnum; w++)//寻找v0最近的顶点64         {65             if (!final[w] && dist[w] < min)66             {67                 k = w;68                 min = dist[w];  //w顶点离v0顶点最近69             }70         }71         final[k] = 1;           //将目前找到的最近的顶点值为172         for (w = 0; w < G.vexnum; w++)//修正当前最短路径及距离73         {      //如果经过v顶点的路径比现在这条路径的长度短的话74             if (!final[w] && (min + G.arcs[k][w] < dist[w]))75             {   //说明找到了了更短的路径，修改dist[w]和prev[w]76                 dist[w] = min + G.arcs[k][w];//修改路径长度77                 prev[w] = k;78             }79         }80     }81     cout << "起始点:";          //一下就是输出函数82     cout << G.vexs[v0]<
       
        > v0;97     ShortestPath_Dijkstra(G, v0, prev, dist);98 }
       
      
     

 

示例展示:

 

参考资料：http://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3711512.html